Üç Cisim Problemi Neden Bir Türlü Çözülemiyor?

Çin bilimkurgu yazımı son on yılda küresel beğenide giderek daha çok öne çıkmaya başladı. Bunda yazar Liu Cixin tarafından kaleme alınan Üç Cisim Problemi isimli kitabının (2006) önemli bir katkısı vardı. Tarihi ve kültürel hikaye anlatımının benzersiz karışımı sayesinde Liu’nun üçlemesinin büyüsüne pek çok okuyucu kapıldı. Netflix’in “Üç Cisim Problemi” dizisi ile bunu ekranlara taşımasıyla da bir çok kişinin aklına aynı soru geldi. Üç cisim problemi gerçek hayatta nedir?

Dizi, 1960’larda Çin’in Kültür Devrimi sırasında başlıyor, ardından izleyicileri farklı kıtalara ve zaman çizelgelerine götürüyor. Dizideki kahramanların hepsi, kararları insanlığın hem şimdi hem de uzak gelecekte gidişatını belirleyen bilim insanlarıdır.

Cevaba geçmeden önce dizi ile bu problemin ilgisini anlamaya çalışalım. Dizi, teknolojik açıdan üstün bir uzaylı uygarlığı, zaten ekolojik yıkım ve çatışmalarla boğuşan bir gezegen olan Dünya’yı işgal ederse, insanlık nasıl tepki vermeli? İnsanlık kurtarılmaya değer mi? Kendimizi kurtarmak mümkün mü? gibi soruların etrafında dönüyor.

Dizi, astrofizikçi Ye Wenjie’nin insanlıkla ilgili hayal kırıklığının hikayesiyle başlıyor. Süreç onu, Trisolaris isimli üç güneşi olan ve dolayısıyla üç cisim probleminin yarattığı sorunlarla boğuşan bir gezegende yaşayan Trisolaranlar olarak bilinen uzaylıları, müdahale etmeye davet etmeye yöneltiyor. Devamında da insan uygarlığını korumaya yönelik karmaşık yıldızlararası çabaları ekranlara yansıtıyor. Dizinin neredeyse her bölümü bir şekilde Çin’in Kültür Devrimi’ne de (1966-1976) gönderme de yapıyor. Bu da diziyi daha ilginç bir hale getiriyor.

Diziden uzaklaşıp şimdi fiziğe geçebiliriz. Üç cisim problemi, fizik ve matematikte gerçekten de zorlu bir bilmecedir. Doğal dünyanın ne kadar karmaşık olduğunun bir örneğidir. Bir yıldızın etrafında dönen bir gezegen mi? Sorun değil. Bir yıldızın etrafında dönen iki veya daha fazla gezegen mi var? İşte bu ciddi bir sorundur.

Üç Cisim Problemi Nedir?

Üç cisim problemini, insanlar yerçekimini ve onun nasıl çalıştığını anlamaya başladığından ve Isaac Newton temel hareket yasalarını yazdığından beri biliyoruz. Matematikçiler o zamandan bu yana üç cisim probleminin çözümleri üzerinde çalışıyorlar. Ancak bu problemin tek bir çözümü yoktur. Hatta bir araştırma sonucunda, bu probleme 12.000 yeni çözüm daha eklenmiştir.

Üç cisim problemi üç yerçekimi kaynağına (üç gezegen, üç yıldız veya bunların bir kombinasyonu) sahip kapalı bir sistemin (dış kuvvetler mevcut değil) evrimi (zaman içinde değişim) ile ilgilidir. Amaç, herhangi bir andaki üç cismin konum ve momentum değerlerini verecek bir çözüme ulaşmaktır. Dünya, güneş ve ay arasındaki etkileşim, 3 cisimli bir problemdir.

Newton’un kütleçekim yasası ile iki nesnenin birbirleri etrafındaki yörüngelerini (ayın dünya çevresindeki veya dünyanın güneş çevresindeki yörüngesi gibi) hesaplayabiliyoruz. İlgili denklemlere verileri yazdığımızda, herhangi bir zamanda tam olarak nerede olacaklarını tahmin eden bir çözüm elde ediyoruz. Bu problem iki cisim problemi olarak bilinir.

Ancak gerçek dünya, ikiden fazla bileşene sahip sistemlerden oluşur. Yani, hareket denklemlerimize Dünya ile Güneş arasındaki boşlukta kaybolan bir uzay aracı veya Ay gibi üçüncü bir cisim eklediğimizde artık analitik bir çözüm bulmakta zorlanmaya başlarız.

Bu problem de üç cisim problemi daha da genel haliyle n-cisim problemi olarak bilinmektedir. Bu sorun nedeniyle, Güneş Sistemindeki gezegenler için dahi, yörüngelerinin her zaman bugün olduğu şekilde kalmaması ve gerçek anlamda tahmin edilemeyecek yollara sapması ihtimali mevcuttur.

Probleme çözüm bulunamasa da simülasyonlar ile gözlemlemek mümkündür. İlk, kaotik aşamada, üç gövde birbirine çok yakındır ve birbirlerine eşit derecede çekim kuvveti uygular. Ancak sonunda bir gök cismi sistemden çıkar ve kalan ikisi eliptik bir yörüngede hareketlerine devam ederler. Ancak üçüncü cisim sonunda geri döner ve her şey yeni baştan başlar. Bu üçlü dans, ikinci aşamada yıldızlardan birinin bir daha geri dönmemek üzere uzaklaşmasıyla sona erer.

Üç Cisim Problemini Çözmek Neden Zordur?

Problemin çözümünde amaç, herhangi bir anda üç cismin konum ve momentum değerini verecek bir denkleme ulaşmaktır. Ancak her bir cismin hareketi diğer ikisinin hareketine bağlıdır ve sistemin kütle merkezi sürekli konum değiştirir. Bu nedenle cisimlerin ilk konumlarını ve momentumlarını tam bir doğrulukla ölçmek imkansızdır.

Ayrıca n, 3 veya daha büyük olduğunda, cisimlerin yollarının genellikle korkunç derecede karmaşık hale geldiği görülmektedir. Üç cisim probleminin çözümlerinin olmayışı matematikçilerin insani yetersizliğinden daha çok, bu eksikliğin matematiğin yasalarının içine gömülü olmasından kaynaklanmaktadır.

Joseph-Louis Lagrange, üç cismi aynı düzlemde hareket edecek şekilde kısıtlarsak ve bunlardan birinin kütlesinin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu varsayarsak, üç cisim problemine en azından bazı çözümleri olduğunu gösterdi. Çözümlerinde, üç cisim uyum içinde hareket etti. Ayrıca her zaman birbirine göre konumlarını korudu.

5 Lagrange noktası bulunmaktadır. İlk üç Lunar Lagrange noktası (L1, L2 ve L3) Dünya ile Ay’ı birleştiren çizgi üzerinde yer alır. L4 ve L5’in her biri bir eşkenar üçgenin üçüncü noktasını oluşturur. Bu nedenle Ay Dünya’yı çevrelerken daima 60° önünde ve arkasında durur.

İki cisimli bir sistem düşünürsek, o zaman üçüncü bir küçük cismin bulunabileceği noktalar şimdi onun onuruna Lagrange noktaları olarak bilinmektedir. Muhtemel Lagrange insan yapımı bir uzay aracının kendi adını taşıyan bu noktalara “park etmesini” hayal etmemişti. Ancak bu noktalar günümüzde tam olarak bu amaçla kullanılmaktadırlar. Ancak Lagrange noktaları üç cisim problemine tam olarak cevap vermez. Üç nesne aynı boyutta (aynı kütlede) ve birbirlerine kabaca eşit mesafedeyse üç cisim problemi tamamen çözümsüzdür.

Üç Cisim Problemini Çözme Girişimleri

Fiziğin güzel yanlarından biri deterministik olmasıdır. Yani bir sistemin tüm özelliklerini biliyorsanız ve fizik yasalarını biliyorsanız, o zaman geleceği mükemmel bir şekilde tahmin etmek mümkündür. Ancak doğanın hem deterministik hem de öngörülemez olabileceğini 1800’lü yıllarda öğrendik.

1889’da İsveç Kralı II. Oscar, soruya genel bir çözüm sağlayacak kişilere bir ödül vaat etmişti. Sonunda, Fransız matematikçi Henri Poincaré problemi çözmeden ödülü kazanacaktı. Ancak kendisi sorunu çözmek yerine, sorunun çözülememesinin nedenlerini açıklayacaktı. Vurguladığı en önemli nedenlerden biri de sistemin başlangıcındaki küçük farklılıkların sonunda büyük farklılıklara yol açacağıydı. Bu kaotik evren fikrinin başlangıcıydı.

Matematikçiler yüzyıllardır Dünya, Ay ve Güneş gibi kararlı bir başka yörünge olup olmadığını hesaplamaya çalışıyor. Görselde Üç cisim problemine 20 periyodik çözüm örneği görülüyor.

Birbirleri etrafındaki bir yörüngede bulunan üç cisim için, tekrar eden adımlar halinde hesaplamayı yapmak mümkündür. En başta, cisimlerden birinin hareketsiz olduğunu varsayıp diğer ikisinin kendi yörüngelerinde kısa bir mesafeyi nasıl kat ettiklerini hesaplarız.

Daha sonraysa bu yeni pozisyonlardan başlayarak diğer bir cisim hareketsiz tutulurken öteki ikisinin hareketini hesaplar ve bunu üçüncü cisim için de tekrar etmek yoluyla bir sonuç elde ederiz. Ancak yine de elde edeceğimiz sonuçlar mükemmel olmayacaktır. Çünkü bu üç cisim birlikte ve aynı anda hareket etmektedir. Gelişen teknolojinin sayesinde matematikçiler olası çeşitli yörüngeler hesaplayabilir. Ancak bunlar yukarda da gördüğünüz gibi çarpık ve karmaşık görünecektir.

Sonuç olarak

Üç cisim sistemleri evrende oldukça yaygındır. Sonucunda birden fazla gezegene sahip çok sayıda yıldız sistemi, hatta birbirinin etrafında dönen birden fazla yıldız vardır. Fizik ders kitaplarında yalnızca bir yıldız ve yörüngede dönen bir dünyadan oluşan mükemmel şekilde yalıtılmış bir sisteme sahip olabilirsiniz, ancak gerçek Evren bu tür basitlikten kaçınır.

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Mathematical mysteries: the three body problem; Yayınlanma Tarihi: 1 Eylül 1998; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Mathematical mysteries: the three body problem/

We Just Got 12,000 New Solutions to The Infamous Three-Body Problem. Yayınlanma tarihi: 23 Temmuz 2023. Bağlantı: https://www.sciencealert.com/

The Three-Body Problem. Liu Cixin’s extraterrestrial novel is a heady blend of politics, ethics, physics and Chinese history. Yayınlanma tarihi: 8 Mart 2024. Kaynak site: Conversation. Bağlantı: The Three-Body Problem. Liu Cixin’s extraterrestrial novel is a heady blend of politics, ethics, physics and Chinese history

Kaynak:https://www.matematiksel.org/uc-cisim-problemi-nedir/